===== Seite 1 ===== 11L Kreise, Prismen und Zylinder 2 Kreisteile Beispiel Flächeninhalt, Bogenlänge und Mittelpunktswinkel bestimmen Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius 5cm. a) Berechne zum Mittelpunktswinkel 54° den Flächeninhalt und die Bogenlänge des Kreisausschnitts. b) Berechne den Mittelpunktswinkel &« zu einem Kreisbogen mit einer Länge von 10cm. Lösung . Ein Kennzeichen der Architektur der Gotik a) Anteil des Mittelpunktswinkel am Vollwinkel: ; = 0,15 ist der Spitzbogen. Zeichne die Figur auf Flächeninhalt des Kreisausschnitts: A= m-5?.0,15 = 1178, also A =11,78cm? Karopapier ab und bestimme die Länge Bogenlänge: b= 27:5-0,15= 4,71. Also b = 471cm. des blauen Bogens. Fehlende Längen dürfen abgemessen werden. Beschreibe b) Anteil des Kreisbogens am Kreisumfang: 3 = =1%;=1=0,32 ‚dein Vorgehen. Es gilt z = } =0,32, also « = 0,32: 360° = 115° Häufig werden bei Kreisen nur Teile der Flächen oder des Umfangs betrachtet, zum Aufgaben Beispiel in gotischen Bauten oder auch bei Kirchenfenstern. Wie von diesen Teilen der Flächeninhalt oder auch der Umfang bestimmt werden kann, wird im Folgenden erklärt. 1 Ordne jedem Kreisausschnitt (K) einen passenden Flächeninhalt (F) sowie eine passen- Die gefärbte Teilfläche des Kreises heißt de Bogenlänge (B) zu. Verwende für die Überschlagsrechnung 1 = 3. Die übriggebliebe- Kreisausschnitt zum Mittelpunktswinkel nen Zahlen hinter F bzw. B bilden eine zweistellige Primzahl. &. Der zum Kreisausschnitt gehörende Teil (K1) (K2) (K3) b der Kreislinie heißt Kreisbogen oder b auch Bogenlänge b. Beträgt der Mittelpunktswinkel zum Bei- spiel &= 90°, ist der Kreissauschnitt ein 5dm 4dm Viertel des ganzen Kreises, da 90° einem JE A-15dm [F3 Ass0dm? AE-16dm? [FA A=18dm? Anteil von } von 360° entsprechen. Damit beträgt der Flächeninhalt A ein Viertel | I b=9dm / E b6-6dm - von mr? und die Bogenlänge b beträgt ein w ; Viertel von 21r b=- 2nr = ] 2nr=05nr 2 Berechne die Länge des Bogens. a) Rundbogen b) Flacht n <) gotischer Spitzbogen Allgemein sind bei gegebenem Radius r der Flächeninhalt A und die Bogenlänge b eines Kreisausschnitts proportional zum Mittelpunktswinkel o und lassen sich daher mit dem Dreisatz berechnen. z —z AT Mittelpunktswinkel a 360° v Ar ® S ———— 55m Anteil am Vollwinkel E e * E Flächeninhalt A des 3 Der Mittelpunktswinkel in Fig. 1 beträgt «& = 40° 1cm Kreisausschnitts Bestimme den Flächeninhalt der gefärbten Fläche näherungsweise mit n = 3. Bogenlänge b Bestimme den Umfang der gefärbten Fläche näherungsweise mit 1 = 3. 5cm ; 12cm 20m? 40cm? ‚Aus dem Rechteck und zwei gleich großen Kreisen soll ein Körper hergestellt werden. Untersucht, welche der drei Kreisgrößen Jose sagt: „Die Formel für den Flächenin- Mängel an den Fahrrädern der Klasse 9: (r r, oder r3) passt, und baut den Körper halt des Kreisausschnitts ist gar nicht neu. E im Maßstab 5 : 1 nach. Die Anteile der Fläche der Kreisausschnitte an der gesamten Kreisfläche entsprechen keine Sonne Mithilfe von Kreisen, Kreisteilen und Vielecken wird im Folgenden gezeigt, wie sich der Wwie in Kreisdiagrammen den Anteilen des Oberflächeninhalt von verschiedenen Körpern berechnen lässt. Mittelpunktswinkel am Vollwinkel” K Erläutere Joses Aussage am Beispiel des Prismen sind Körper, die man sich durch Ver- — Kante Grundfläche Wenn die Verschiebung Kreisdiagramms rechts. schieben eines Vielecks im Raum entstanden ‚wie hier senkrecht zur vorstellen kann. Die Verschiebung erfolgt Grundfläche erfolgt, entsteht ein gerades 8 Die Erde ist etwa 150 Millionen Kilometer von der Sonne entfernt und beschreibt wäh- senkrecht zur Grundfläche. Der Abstand zwi- Prisma. Wir sagen dazu rend eines Jahres näherungsweise eine Kreisbahn um die Sonne. schen den beiden Grundflächen heißt Höhe kurz Prisma. a) Berechne die Streckenlänge, die die Erde an einem Tag auf ihrer Kreisbahn zurücklegt. ‚des Prismas. Die Oberfläche eines Prismas b) Von der Erde aus gesehen nimmt die Sonne einen Winkel von 0,53° ein. Berechne die besteht aus zwei zueinander kongruenten Länge des dazugehörenden Bogens. Diese Bogenlänge ist ein Näherungswert für den Vielecken als Grundflächen und Rechtecken Sonnendurchmesser. Recherchiere den tatsächlichen Sonnendurchmesser und verglei- als Seitenflächen. Die Gesamtheit der Sei- che mit dem Näherungswert. tenflächen heißt Mantelfläche oder Mantel des Prismas. Wenn man statt eines Vielecks Lösungen, Seite 237 einen Kreis als Grundfläche betrachtet, er- hält man einen Zylinder. Seitenfläche Manteifläche .9 Berechne den Mittelpunktswinkel eines 40mm| Kreisauschnitts mit dem Radius 4 m, wenn Wenn man den Körper entlang einiger . a) der Kreisausschnitt die Bogenlänge 6m seiner Kanten aufschneidet, erhält man hat, das Netz des Körpers (s. rechts). ‘b) der Kreisausschnitt den Flächeninhalt Für den Oberflächeninhalt 0, den Grund- M h M h 20 m° hat. 300 mm flächeninhalt G und den Inhalt der Mantel- fläche M eines Prismas bzw. Zylinders gilt T k—.—u Bestimme den Flächeninhalt des Blech- ( 0=2:G+M. stücks in der Figur. 40mm Der Inhalt der Mantelfläche M lässt sich mithilfe des Umfangs U der Grundfläche G und der Höhe h des Prismas berechnen. Es gilt M =U-h. Für einen Zylinder mit dem Radius 11 Jedes kleine Quadrat (Fig. 1) hat die Seiten- 3y ä b) r ergibt sich für den Inhalt der Mantelfläche also M =2nr-h. Da die Grundfläche des länge a= 3cm. Berechne den Flächenin- M Zylinders ein Kreis ist, gilt für den Oberflächeninhalt also 0=2-G+M =2-nr?+2nrh. halt und den Umfang der gefärbten Fläche. x Mantel- und Oberflächeninhalt von Prismen und Zylindem en Zeichne zwei Kreise mit gleichem - Für ein Prisma mit der Höhe h, dem Grund- Radius, von denen jeder durch den flächeinhalt G, dem Umfang der Grundflä- Mittelpunkt des anderen geht. Berechne Fig. 1 che U, dem Oberflächeninhalt O und dem die Schnittfläche der beiden Kreise. Inhalt der Mantelfläche M gilt: M=U-h und 0=2-:G+M. Te: Gleichungen lösen mit Äquivalenzumformungen O-—> Grundwissen, Seite 208 Für einen Zylinder mit dem Radius r gilt Lösungen, Seite 237 Löse die Gleichungen. Führe die Probe durch. entsprechend M=U-h=2nr-h und B a)2,5(2-x%) +0,5=-35x+3 b)(x-3):4-24=-8G-x) c)-(-2x+7=-91-36+2) 0=2-G+M=2nr?+2nrh. 80 81 ===== Seite 3 ===== JIl Kreise, Prismen und Zylinder 02 ß Francesco berechnet näherungsweise den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises Tipp #9 Bestimme den Flächeninhalt der gefärbten Figur sowie die gesamte Länge der inneren mit dem Radius r= 10cm und erhält für A=314cm? und U = 628cm. Der Umfang lässt sich und äußeren Umrandungen. Längen, die nicht berechnet werden können, können im Heft Prüfe Francescos Ergebnisse, indem du eine Zeichnung von einem entsprechenden Kreis MitMife Sines Papier- gemessen werden. auf Karopapier anfertigst und den Flächeninhalt sowie Umfang näherungsweise be- a) b) stimmst. “ l - '“ . W 93 Frau Badu macht mit ihren beiden Kindem - { eine Radtour. Der Raddurchmesser des { : Fahrrads der Tochter beträgt 30cm, die m ! Räder des Fahrrads des Sohnes haben S einen Durchmesser von 50 cm und die des Fahrrads der Mutter einen von 71 cm. Bestimme die Umdrehungen der Räder pro $ 10 Bei einem 26"-Fahrrad beträgt der Raddurchmesser 26 Zoll. Berechne, weichen Weg das km und vergleiche die Ergebnisse. Fahrrad zurücklegt, wenn das Rad 350 Umdrehungen zurückgelegt hat (1 Zoll = 2,54cm). ©4 Das Funksignal eines Radiosenders hat $ 11 In der Pizzeria Raffaela gibt es Pizzen in zwei Größen. Die kleine „Pizza Margherita“ mit eine Reichweite von 50 km. Ermittle, wie einem Durchmesser von 25cm kostet 5,40€. Die große „Pizza Margherita“ mit einem groß der Flächeninhalt des kreisförmigen Durchmesser von 40cm kostet 10,80 €. Sendegebiets ist. Runde sinnvoll. a) Schätze zunächst, bei welcher Pizza das „Preis-Leistungs-Verhältnis“ besser ist. Berechne anschließend. b) Bestimme den Durchmesser einer Pizza, die doppelt so groß ist, wie die kleine Pizza. <) Vergleiche die Preise von Pizzen verschiedener Größen in Pizzerien in deiner Nähe. Beurteile, ob die Preisunterschiede gerechtfertigt sind. >5 ( Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne näherungsweise die fehlenden Größen. O—> Lerntipp $ 12 a) Der Äquator hat eine Länge von ‚echne im Kopf mit 1 = 3. Seite 73, Beispiel 12) ca. 40 000 km. Ermittle, wie groß der a) b) o d) e) Y g Erdradius r ist. Radius U 75mm am T b) Stell dir vor, ein 40 000 km langes Stahl- band, das am Äquator straff um die Erde Durchmesser 8dm wkm 5m gespannt war, wird geringfügig um 2m Umfang 7 verlängert und so gespannt, dass der i i Abstand von der Erde überall gleich ist. ME Beurteile, ob du jetzt unter diesem Band hindurchkriechen könntest. Lösungen, Seite 236 <) Führe dasselbe Gedankenexperiment 06 B Übertrage die Tabelle in dein Heft und a b o MDn en nn HME RS berechne näherungsweise die fehlenden E , on OT OE GE Größen. Rechne mit 1 = 3. m A C Durchmesser 8cm i B ?;\d: den hhhr; He Die BeoHffe auf 67 e nche e Hra Dr A schreibe, was falsch gemacht wurde. Verwende Fachbegriffe. Die Begriffe auf dem SEr vof 206 Berechne hBheTUNBWERE n ;:m _ Rand können helfen. Korrigiere die Lösung anschließend im Heft. OE RI seinen Flächeninhalt. a) Gegeben: An = 36 cm* b) Untersuche, wie sich der Flächeninhalt » der Durchmesser + die Kreiszahl x Gesucht: d eines Kreises verändet, wenn man den #8 Bestimme mithilfe einer Überschlagsrechnung zu dem gegebenen Kreis näherungsweise ©-—> Lermtipp ] Radius verdreifacht. e ehen die gesuchten Größen. Rechne mit 1 = 3. Seite 73, Beispiel 2 A=n l A anı .::]mie:unaurm Der Umfang des Kreises beträgt U = 60cm. Bestimme den Radius und den Flächen- ©—> Vertieten & nlr lın T DE «rakeidernnt inhalt des Kreises. Seite 94 Aufgabe B A X AL +der Faktor on einem Kreis ist der Flächeninhalt A = 30000m? gegeben. Bestimme den Radius Har alsoAyı 5 3A und den Umfang des Kreises. Der Durchmesser beträgt 6cm. Der Flächeninhalt eines Kreises verdreifacht <) Berechne die Größen in den Teilaufgaben a) und b) mit dem Taschenrechner und be- sich. stimme jeweils die prozentuale Abweichung des Überschlags im Vergleich zum Ergeb- nis mit dem Taschenrechner. Beschreibe, was dir auffällt. 74 1 Kreisumfang und Kreisfläche 75 ===== Seite 4 ===== II Kreise, Prismen und Zylinder .14 a) Ein Kreis hat einen Radius von 4cm. Untersuche, wie sich sein Umfang vergrößert, — Lerntipp: [ —— —> Lösungen, Seite 236 wenn man seinen Radius verdoppelt. Seite 73, Beispiel 1b) 18 a) Berechne die Länge des Randes der ab- b) Untersuche, wie sich der Umfang eines beliebigen Kreises vergrößert, wenn man sei- gebildeten gelben Figur. nen Radius verdoppelt. b) Ermittle den Flächeninhalt der gelben <) Ein Kreis hat einen Umfang von 78 m. Untersuche, wie sich der Durchmesser ändert, Figur. wenn der Umfang halb so groß ist. d) Untersuche erst an konkreten Beispielen und anschließend allgemein, wie sich der In Leichtathletikstadien hat die innere Flächeninhalt eines Kreises ändert, wenn sich der Radius verdoppelt. Laufbahn des Tartanfeldes folgende Form. + 15 Bestimme den Flächeninhalt und den Umfang der blau gefärbten Fläche. a) b) o d) Dabei können die Längen r und a variieren. 6l L a) Stelle eine Formel zur Berechnung der UEL G Länge der inneren Laufbahn auf. b) Berechne die Länge der inneren Laufbahn für r =36,90m und a =84m. <) Berechne die Länge der sechsten Bahn auf der Innenseite, wenn jede Laufbahn 1,22 m 16 Wahr oder falsch? breit ist. Erläutere, warum 400-m-Läufer im Wettkampf immer versetzt starten und be- Beurteile, ob die Aussage wahr oder falsch rechne den ‚Vorsprung“, den ein 400-m-Läufer beim Start auf der zweiten Bahn gegen- ist. Begründe. über dem Läufer auf der ersten Bahn haben muss. Bei einem Hochrad hat das Vorderrad einen Durchmesser von 1,35m und das Hinterrad einen Durchmesser von 45 cm. 20 Bei den folgenden Figuren verdoppelt sich oben immer die Anzahl der Bögen. Hakim behauptet: a) Zeichne die vier Figuren in dein Heft, sodass der blaue Kreisbogen den Radius 2 cm hat. „135 : 45 = 3, also dreht sich das kleine Rad b) Berechne jeweils die Länge des blauen und des roten Randes und vergleiche die Um- 3-mal so oft wie das große.” fänge. ‚D Näherungswerte für die Kreiszahl n mithilfe von Tcngenten bestimmen O—> Vertiefen & &7 eı w Wenn man von Punkten, die außerhalb Seite 100, Exkursion eines Kreises liegen, Tangenten an einen Kreis konstruiert, dann bilden die Schnitt- punkte ein Vieleck. Der Flächeninhalt dieses Vielecks ist größer als der Flächen- .21 Die 5m breite Straße des Kreisverkehrs inhalt des Kreises, Zur Erinnerung: auf dem Foto wurde neu asphaltiert. Die a) Zeichne mit einer dynamischen Geome- Die Gerade, die einen Oberfläche der Straße im Kreisverkehr hat Kreis berührt (also triesoftware einen Kreis mit dem Radius einen Flächeninhalt von 550 m®. In der genau einen gemein- r =1 und vier beliebige Punkte A, B, C, Samen Punkt mi Mitte des Kreisverkehrs soll neuer Rasen D außerhalb des Kreises. Konstruiere ‚dem Kreis hat), heißt gesät werden. durch A, B, C und D jeweils zwei Tangen- Tangente. Die Strecke &) Schätze, für wie viele Quadratmeter Rasenfläche Samen gekauft werden muss. Erstelle ten an den Kreis (siehe rechts). Hen n zunächst eine beschriftete Skizze und begründe deine Schätzung. b) Die Schnittpunkte der Tangenten bilden ‚punkt der Tangente b) Berechne die Rasenfläche im Inneren des Kreisverkehrs, ein Achteck. Lass dieses Achteck sowie bildet mit der Tangente ‚den Flächeninhalt des Achtecks anzeigen. ‚einen rechten Winkel. e22 Wahr oder falsch? O-—> Erforschen <) Variere die Lage der Punkte A, B, C und Beurteile, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründe. Seite 97, Aufgabe 24 D. Versuche hierbei ein Achteck zu er- „Es gibt ein Quadrat, dessen Flächeninhalt halb so groß ist wie der Flächeninhalt des Um- halten, dessen Flächeninhalt so wenig kreises dieses Quadrats” ‚wie möglich von dem Flächeninhalt des Kreises abweicht, für den A, =n-1*=m gilt. d) Wenn man mehr als vier Punkte betrachtet, erhält man in Teilaufgabe c) Flächeninhal- Gleichungen lösen ‚O-—> Grundwissen, Seite 208 te des Vielecks, die näher an dem Flächeninhalt des Kreises liegen. Versuche mithilfe Lösungen, Seite 237 Löse die Gleichung und mache die Probe. von Vielecken, die als Schnittpunkte von Tangenten entstehen, einen möglichst guten Näherungswert für ı zu erhalten. Berechne, um wie viel Prozent dieser vom Wert des a)ix+3--b) 733 -7xx=0,-6 35 c -234=3-3x Taschenrechners für x abweicht. 76 1 Kreisumfang und Kreisfläche ===== Seite 5 ===== IIL Kreise, Prismen und Zylinder 1 Kreisumfang und Kreisfläche Umfang und Flächeninhalt eines Kreises Zur Erinnerung: Für einen Kreis mit dem Radius 1, dem \Vor Klammern und Zzwischen Zahlen und Umfang U und dem Flächeninhalt A gilt Tina möchte an ihrem Fahrrad einen Kilo- Variablen kann man Umfang: U=2nr=nd auf den Malpunkt ver- meterzähler anbringen. In der Bedienungs- Zichten, anleitung liest sie:; Flächeninhalt: A = mnr? 2B; 2:mr=2mr — Bringen Sie an der Fahrradgabel und an einer Speiche des Vorderrads jeweils einen kleinen Magneten an. Diese Formeln kann man zur Berechnung des Radius nach r auflösen: Altemativ kann man bei — Geben Sie den Durchmesser des yor- U=2S-n°r — 13:(2B°m) AS=Oaı i:n AAuuffggaabbeenn aauucchh z uunänchst derrads in den Kilometerzähler ein. aln er bzw. ral An IV einsetzen und die so er- z haltene Gleichung dann V“ =r bzw. r= 1/ Da der Radius r positiv_nach der gesuchten Wie funktioniert dieser Kilometerzähler? Größe umformen. ist, hat die Gleichung nur eine Lösung. Bisher wurde der Umfang und der Flächeninhalt von Figuren berechnet, die geradlinige Seiten haben. Wie man den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreises ermitteln kann, Beispiel 1 Flächeninhalt berechnen wird im Folgenden gezeigt. Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius r= 5cm. a) Überschlage den Flächeninhalt des Krei- b) Untersuche, wie sich der Flächeninhalt Kreisumfang ses. Berechne ihn anschließend mithilfe ändert, wenn der Radius verdoppelt wird. Bei den Gegenständen in Fig. 1 wurden des Taschenrechners und vergleiche die jeweils der Durchmesser und der Umfang Sagmkanit - | fa || m } _0 beiden Ergebnisse. gemessen und die Werte in eine Tabelle Flasche 73 23 345 Lösung eingetragen. In der letzten Spalte wurde S m i 7En a) Überschlag mit 1 = 3: b) Aößere weis *M (2:5cm? Ayreis *3: (5cm} = 3: 25cm? = 75cm? +2?.(5cm? jeweils der Quotient aus Umfang und Durchmesser berechnet. Man erkennt, dass _ Tomne 28 2 s Rechnung mit TR: +4-(5cmP der Umfang bei allen Gegenständen etwas Klebeband 32 10 3,13 = n (5cm} = n-25cm* = 78,54cm? =4-1-(5CMP = 4 + Agreis: mehr als dreimal so groß ist wie der Durch-.— 6 ” 323 Der Überschlag der Kreisfläche ist um Der Flächeninhalt vervierfacht sich. messer. Es ist zu vermuten, dass der Kreis- etwa 3,5 cm® kleiner als die exakte umfang proportional zum Durchmesser ist und dass der Proportionalitätsfaktor etwa 3 ist. Kreisfläche. Aufgrund von Messungenauigkeiten sind die Werte U : d in der Tabelle nicht exakt gleich. Man kann zeigen, dass bei Verwendung exakter Werte der Quotient U : d stets den glei- Beispiel 2 Umfang und Durchmesser von Kreisen berechnen Fig. 1 chen Wert ergibt. Dieser Wert heißt Kreiszahl n (sprich: pi) und beträgt ungefähr 3,14. a) Berechne den Umfang eines Kreises mit b) Bestimme den Durchmesser eines Krei- Den Begriff „propor- dem Durchmesser d = 4m. ses mit dem Umfang U = 37,7 cm. Es gilt n = 4, Nach U aufgelöst erhält man: U= n d =n“2-r=2nr. tional“ kannst du im Grundwissen auf Lösung Seite 210 nachschlagen. a) Radius des Kreises: b U=n.d J:n Manchmal ist es sinn- Kreisfläche r=d:2=4m:2=2m d-X ‚voll, das Ergebnis als Wenn man die Formel U =2- m-r kennt, xist eine imationale Vielfaches von x anzu- Umfang des Kreises: Durchmesser des Kreises: kann man eine Formel für den Flächeninhalt Zahl. Daher kann man x geben. nicht exakt als Dezimal- U=2-m- 2m=4-xm= 12,6m u _ 377cm des Kreises herleiten. Rechts wird ein Kreis d= =120cm zahl angeben. Mithilfe n Un ‚vom Mittelpunkt aus in gleich große Kreis- von Computern hat man teile aufgeteilt, von denen einer zusätzlich ‚mittlerweile einen Aufgaben noch halbiert wird. Man kann dann die Kreis- Näherungswert für m ‚mit über 200 Milliarden teile zu einer annähernd rechteckigen Fläche Gegeben sind Angaben zu vier Kreisen. Ordne jedem Radius (R) je zwei Karten mit zu- Nachkommastellen be- zusammenlegen. je größer die Anzahl der gehörigem Umfang (U) und je zwei Karten mit zugehörigem Flächeninhalt (F) zu. Verwen- stimmt. Kreisteile ist, desto mehr gleicht die zusam- de für die Überschlagsrechnung 1 = 3. mengesetzte Figur einem Rechteck. Für die 3,141592653589793 F E r-2m B - 150m 238462643383279502 beiden Seitenlängen des Rechtecks gilt: 88 419 716 U=4ncm B v-31cm J — die eine Seitenlänge entspricht dem Radius des Kreises, also r. 9 39 375 105 820 - die zweite Seitenlänge ist etwa halb so groß wie der Umfang des Kreises, also 3. 974 944 B5 U-18,85cm W U 2513cm ® 592 307 Da U =2mr gilt, lässt sich der Flächeninhalt des Rechtecks wie folgt berechnen: 816 406 2 [El A=16nem? 8620 8998 62 Ans=Yır=23f.r= merır= mr?. Damit gilt auch Ag = zr 8 7 034 8 0 2 6 5 7 3 9 42 B 1A2-57cm? - 72 1 Kreisumfang und Kreisfläche 73 ===== Seite 6 ===== II Kreise, Prismen und Zylinder n Pierre hat in seinem Heft die Rechnun- 4 Prismen und Zylinder - Volumen D gen rechts zu einer Aufgabe zum Thema 1, 132cm? - 12cm? = 120cm? „Prismen” notiert. a) Finde ein Problem, das zu Pierres Rech- 2. 120cm? : 12cm = 10cm nungen passt. Erstellt aus DIN-A4-Blättern verschiedene b) Beschreibe dein Vorgehen. Körpermodelle, die oben und unten offen ‚sind, Kleben ist erlaubt, aber für jeden —— 0-—> Lösungen, Seite 238 Körper darf nur ein DIN-A4-Blatt verwendet 3 Eine Outdoor-Firma möchte von dem werden. Fertigt eine beschriftete Skizze Außenzelt mit den angegebenen Maßen 1.2m der Körper an. 1000 Stück produzieren lassen. Das Zelt Welcher Körper hat das größte Volumen? hat keine Bodenplatte. 4m Ihr könnt zur Überprüfung auch geeignetes Bestimme, wie viel der notwendige Stoff Füllmaterial verwenden. kostet, wenn man 15% Verschnitt ein- O65 mOE mÄ kalkuliert und 1m?® des Stoffes im Einkauf Bisher wurden die Mantel- und Oberflächeninhalte von Prismen und Zylindern thema- 20 Euro kosten. —3 — tisiert. Im Folgenden wird ausgehend von der Volumenberechnung von Quadern eine Formel für das Volumen von Prismen und Zylindern erarbeitet. Das Volumen einer quaderförmigen Verpackung mit quadratischer Grundfläche soll 300ml betragen. Der Hersteller der Verpackung möchte möglichst wenig Material verbrauchen. Volumina von Prismen Ein Mitarbeiter gibt die folgende Funktionsgleichung einer Funktion an, die den Oberflä- cheninhalt der Verpackung in Abhängigkeit der Seitenlänge a der Grundfläche beschreibt: O(a) = 2a2 + 200 a) Zeige, dass sich der Oberflächeninhalt der Verpackung in Abhängigkeit der Seitenlänge A a durch die Funktion O beschreiben lässt. b) 2 Zeichne den Graphen der Funktion O mithilfe eines Funktionenplotters und bestim- me mithilfe des Programms die Seitenlänge a der Grundfläche, so dass der Material- Ein Quader mit der Länge a, der Breite b verbrauch minimal wird. und der Höhe h hat den Grundflächeninhalt G =a- b und das Volumen Wahr oder falsch? V=ac b h=G.h. Beurteile, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründe. Ein Quader lässt sich wie dargestellt im- a) Wenn man bei einem Zylinder den Radius verdoppelt, vervierfacht sich der Inhalt der ‚mer in zwei gleiche Prismen mit rechtwink- Mantelfläche. ligen Dreiecken als Grundfläche zerlegen. b) Wenn man bei einem Prisma mit gleichbleibender dreieckiger Grundfläche den Inhalt Diese beiden Prismen haben jeweils den halben Grundllächenlnhak und das halbe Volumen des Quaders, Es gilt als0 Vpama= 3° Vouader * 3}-G, *h= Gpama‘ h. der Mantelfläche verdoppelt, verdoppelt sich auch die Höhe. Grundwissen, Seite 208 und diese dann in Prismen, deren Grundflächen rechtwinklige Dreiecke sind. Somit gilt Lösungen, Seite 238 zum Beispiel für das Volumen des folger\den Pflsmas 616 Eine Schokolade der Sorte Alpenstolz a 109 + (12 - a): 99 = 1228 u h+G, h+...+G; h= (G,+ G, + kostet 1,09€, eine der Sorte Sportglück kostet nur 0,99€. Timo kauft für 12,28€ a: 109 + 1299 - a:99 = 1228 insgesamt 12 Tafeln Schokolade. Lucia a:10 - 1188 = 1228 also a= 4 soll bestimmen, wie viele Tafeln Timo von jeder Sorte gekauft hat und notiert ihre Rechnung rechts. a) Gib an, für welche Größe die Variable a inhaltlich steht. ‘b) Begründe, warum die Gleichung in der ersten Zeile die Situation richtig beschreibt. <) Erläutere die einzelnen Rechenschritte. Dieses Verfahren kann man bei beliebigen Prismen durchführen. Es gilt demnach für alle d) Gib an, wie viele Tafeln Alpenstolz bzw. Sportglück Timo gekauft hat. Prismen mit der Grundfläche G und der Höhe h die Volumenformel V=G - h. 84 85 ===== Seite 7 ===== 11L Kreise, Prismen und Zylinder Beispiel 1 Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen ® Alma hat in ihrem Heft die „Merkhilfen“ 1. Mantelflächeninhalt durch Umfang @ L Berechn ö e den Obe s rflächeni u nhalt des a n bgebildeten g Pri s 1 m 2 a m s . . ‚m Ma it n o k d a e n r n o h d n ie e R E e in ch h n e u it n e g n rechts notiert. = Höhe a) Finde zu jeder „Merkhilfe“ eine passende 2. Oberflächeninhalt minus Mantelflächen- Die Grundfläche ist ein Trapez. & notieren. Es ist dann Aufgabe. Überlege dir mögliche Maße. sinnwoll,die Einheiten inhalt durch 2 = Grundflächeninhalt. b) 2A3 Löst gegenseitig eure Aufgaben. G =3-(a+0:h wegzulassen, wenn die Rechnung dadurch über- =3-(6m+12m)-4m = ] - 18m-4m = 36m? sichtlicher ist. Grund- Im Jahre 1855 errichtete der Berliner Dru- sätzlich muss man bei cker Ernst Litfaß die erste Reklamesäule. M=U-h=(6m+6m+5m+12m)-13m der Rechnung darauf = 28m-13m= 364m? achten, die Einheiten Bei einer Firma kann man Litfaßsäulen anzupassen. in unterschiedlicher Ausführung bestellen. O =2:G+M=2-36m* + 364m? Bestimme jeweils die Größe der Werbe- =72m* + 364 m* = 436 m? fläche, die beklebt werden kann. Der Durchmesser wird a) Standardsäule: Höhe 1,92m; @ 62cm ‚manchmal auch mit Beispiel 2 Mantelflächen- und Oberflächeninhalt eines Zylinders berechnen b) Messesäule: Höhe 3,50 m; @ 100 cm dem Zeichen @ an- Berechne den Mantelflächen- und Oberflä- c) Edelstahlsäule: Höhe 2,6m; @ 95cm gegeben. Stabes, der eine Höhe von 1,5 m hat. IÖ/ cheninhalt des abgebildeten zylindrischen 2@m -O—> Lösungen, Seite 237 Lösung 07 @ Berechne den Inhalt der Mantelfläche Zuerst muss der Radius bestimmt und die Einheiten angepasst werden. und den Oberflächeninhalt des rechts ab- Mit r=2cm:2=1cm und h=1,5m = 150cm erhält man für den Inhalt der Mantel- gebildeten Prismas. fläche M=2nrh=2+1+1+ 150 = 3007 =94248. 13<% Somit gilt für den Oberflächeninhalt Berechne den Inhalt der Mantelfläche und 0=2:G+M=21nr?+M=2: m- 1° + 3007 = 3027 = 948,76. den Oberflächeninhalt eines Zylinders mit Der Stab hat einen Mantelflächeninhalt von ungefähr 942,48cm?®, und sein Oberflächen- dem Durchmesser 16 cm und der Höhe 8 cm. inhalt beträgt etwa 948,76 cm?. Wahr oder falsch? Aufgaben Beurteile, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründe, a) Die Oberfläche eines Prismas mit 6-eckiger Grundfläche besitzt 8 Begrenzungsflächen. a) Entscheide, ob folgende Körper Prismen sind. Begründe, Manchmal muss man b) Jedes Prisma ist ein Quader. ] ( ] sich das abgebildete Prisma gedreht vorstel- <) Es gibt Prismen, deren Seitenflächen Quadrate sind. len, um die Grundfläche d) Bei jedem Prisma ist die Anzahl der Kanten dreimal so groß wie die Anzahl der Ecken. ‚Uund die Höhe besser zu ©) Jeder Würfel ist ein Prisma. erkennen. 1) Jeder Zylinder ist ein Prisma. s 10 Ein zylinderförmiger Brunnen mit einem b) Notiere Beispiele von Körpern aus der Umwelt, dem Supermarkt etc., die näherungs- Durchmesser von 2,50 m wird 14,50m tief weise Prismen bzw. Zylinder sind und sammle Bilder von den Gegenständen. ausgeschachtet und ausgemauert. Nach oben bekommt er ebenfalls aus Steinen ® Gegeben ist ein Prisma mit den rechts O-—> Lerntipp eine 0,8 m hohe Brüstung. Ermittle, wie angegebenen Maßen. Berechne den Inhalt TU S Seite 82 Beispiel 1 viele Steine man vermutlich insgesamt der Mantelfläche und den Oberflächen- M A\ benötigt, wenn man davon ausgeht, dass inhalt des Prismas. z 60 Steine für 1m?® reichen. @ Bei einem Zylinder mit der Höhe h = 5cm hat die Grundfläche einen Radius von — Lerntipp r = 2cm. Verwende bei den Rechnungen n =3. Seite 82 Beispiel 2 en Ein Zylinder mit der Höhe h besitzt eine 3dm 60dm a) Bestimme näherungsweise den Inhalt der Mantelfläche des Zylinders. Grundfläche mit dem Radius r, den Ober- b) Bestimme näherungsweise den Oberflächeninhalt des Zylinders. flächeninhalt O und den Mantelflächen- 15m u1cm inhalt M. Bestimme die fehlenden Größen. 94dm? 375m? 420m? | 69mm? Eine zylinderförmige Walze hat einen Durchmesser von 1,10m und ist 2,10m breit. & Kontrolliere dein Ergebnis mithilfe einer a) Berechne, welche Fläche bei einer Umdrehung von der Walze abgewalzt wird. E wr Überschlagsrechnung. b) Die komplette Walze soll gestrichen werden. Bestimme, für welche Fläche Farbe ge- verstehen kauft werden muss. 2n79pi 82 =|z|o 3 Flächen bei Prismen und Zylindern 83 ===== Seite 8 ===== IIl Kreise, Prismen und Zylinder Volumina von Zylindern 92 Berechne das Volumen des Körpers. O—> Lerntipp Ein Zylinder hat als Grundfläche einen a) b <) Seite 86, Beispiel 1 und 2 Kreis. Da man den Kreis durch Vielecke O0—>) Üben © beliebig genau annähern kann, kann man Seite 94, Aufgabe 8 auch den Zylinder durch Prismen beliebig genau annähern, Für die Prismen gilt die Volumenformel V=Gh. Also gilt auch für das Zylindervolumen die Formel V=G-h.Wegen G = ır? folgt für den Zylinder V =nr?+ h. Volumina von Prismen und Zylindern Das Volumen V von Prismen und Zylindern mit der Grundfläche G und der Höhe h berechnet man mit der Formel V=G-h. 93 ( Zum Schutz vor Sturmfluten baut man Für einen Zylinder mit der Höhe h und dem Radius r der Grundfläche G gilt demnach an den Küsten Deiche, die das Überfluten V=G-h=mr?-h. des dahinterliegenden Landes verhindem sollen. Ein Deich hat auf einer Länge von 10 km Beispiel 1 Volumen eines Prismas den rechts abgebildeten Querschnitt. Berechne das Volumen des dargestellten Man kann die Rechnung Berechne, wie viele Kubikmeter Erde man Prismas. ‚mit oder ohne Einheiten zum Bau des abgebildeten Deichs benötigt. Lösung Shmel die Einhehe Die Grundfläche ist ein Dreieck mit g =8m AseiEnAn swn owıclh nt edn und ha' 10m. Rechnung dadurch über- o4 Familie Dichans möchte ihre neu ange- sichtlicher ist.Grund- legte Rasenfläche walzen, damit die Saat G=3-g-h,=3-8m-10m = 40m? sätzlich muss man bei optimal anwachsen kann. Dazu will Frau der Rechnung darauf V=G-h=40m*-12m= 480 m* Dichans die Walze vollständig mit Wasser achten, die Einheiten anzupassen. füllen, damit sie das notwendige Gewicht Beispiel 2 Volumen eines Zylinders erhält. Bestimme näherungsweise, wie vie- Zur Erinnerung: 1l=1dm?=1kg Das Volumen eines zylindrischen Stabes mit einem Durchmesser von 0,5dm beträgt le Liter Wasser man benötigt, um die Walze 625cm”. Berechne die Länge des Stabes. Erstelle dazu auch eine beschriftete Skizze. vollständig zu füllen und gib dann deren Lösung Masse an. Rechne mit n = 3, Da der Stab zylindrisch ist, kann man die Formel V = ır? + h verwenden. Die gesuchte Länge entspricht der Höhe h des Zylinders. -O—> Lösungen, Seite 238 Zuerst muss man die Einheiten anpassen. Skizze: 05 ß Das Prisma in der Figur mit der Höhe r=d:2=05dm:2=5cm:2=25cm h= 4mm hat als Grundfläche ein Parallelo- 45m n Einsetzen der gegebenen Größen und Auf- gramm mit den in der Figur angegebenen lösen der Gleichung: Maßen. +252h +625h 1:625 FE 2EcM h Berechne das Volumen des Prismas. ‘h lın ' 06 a) Ermittle das Volumen eines Zylinders mit dem Durchmesser d =22m und der Höhe 100 :m=h bzw. h=100 ;n = 31,8. Der Stab ist ungefähr 31,8cm lang. h=3m. b) Ein Prisma mit der Höhe h= 3dm hat eine dreieckige Grundfläche mit der Grundseite 8g=5dm und der Höhe h,= 2dm. Berechne sein Volumen, Entscheide, für welche Körper man die Formel V = G-h verwenden kann, wobei G der +# 7 Bestimme die Höhe des Zylinders bzw. des Prismas, wenn das Volumen 30 cm? beträgt. Grundflächeninhalt und h die Höhe des Körpers ist. Begründe. a) b) 9 7em N 2m 86 4 Prismen und Zylinder - Volumen 87 ===== Seite 9 ===== IIl Kreise, Prismen und Zylinder 5 Das Prinzip von Cavalieri Satz des Cavalieri Zwei Körper haben das gleiche Volumen, ‚wenn für sie gilt: 1. Die Flächeninhalte der Grundflächen sind gleich: G, = G,. Susan hat von einem Haufen Bierdeckel 2. Sie haben die gleichen Höhen. jeden einzelnen auf die gleiche Weise 3. Ihre Schnittflächen, im gleichen Abstand zerschnitten und neu zusammengelegt. parallel zur Grundfläche, haben den glei- Zerschneide selbst Bierdeckel und lege sie chen Flächeninhalt: S, = S,. Neu zusammen. Vergleiche die Grundflächeninhalte und Volumina der entstehenden Körper. Beispiel Volumen eines schiefen Körpers berechnen Berechne das Volumen des Körpers in ‚Acm Fig. 1 In einem Parallelogramm hängt der Flächeninhalt nur von der Grundseite und der Höhe Lösung ab. Dass sich dieser Sachverhalt auch auf Körper übertragen lässt, wird im Folgenden Der Körper hat das gleiche Volumen wie —_ 10Cm| |Aem gezeigt. ein 10cm hoher Zylinder mit dem Grund- kreisdurchmesser 4 cm (Fig. 2). Verformt man den Stapel quadratischer V=nr?+h= n-(2cm}? -10cm = 126cm°. Notizblätter so, dass die einzelnen Blät- ter weiterhin parallel zueinanderliegen, so bleiben die zur Grundfläche parallelen Querschnittsflächen gleich. Auch die Höhe Aufgaben des Stapels bleibt unverändert. Da kein 9 1 Berechne das Volumen der Körper. Blatt hinzugefügt oder weggenommen a) b) ‚wurde, bleibt das Volumen des Stapels ebenfalls gleich. Dieser Zusammenhang lässt sich beim Vergleich zweier Körper nutzen, die die folgenden Voraussetzungen erfüllen: 1. Die Flächeninhalte der Grundflächen sind gleich groß: G, = G, / 15cm 2. Die Körper haben die gleichen Höhen. 1em Scm 3. Im gleichen Abstand parallel zur Grundfläche liegende Schnittflächen haben den d) Skizzere für die Teilaufgaben a) und c) jeweils das Schrägbild eines Quaders, der die gleichen Flächeninhalt: S, = S, gleiche Höhe und das gleiche Volumen hat wie der gezeigte Körper und beschrifte den Die Form der Schnittflächen S, und S, kann hierbei verschieden sein. Quader jeweils mit seinen Maßen. P E 2 _ Der Cayan Tower ist ein Wolkenkratzer in Dubai. Die Höhe des Turms beträgt bei 76 Stock- M. P werken 306 Meter, seine Gestalt zeichnet sich durch eine 90-Grad-Drehung nach oben hin aus. Bestimme das Volumen des Gebäudes, wenn jedes Stockwerk eine Fläche von 111m? hat. Fig.1 Fig. 2 Fig.3 Fig. 4 h! —o Lösungen, Seite 228 Die zwei in Fig. 1 und Fig. 2 dargestellten Körper erfüllen die obigen Voraussetzungen. Aus ) Berechne das Volumen des Körpers. beiden werden in gleicher Höhe parallel zur Grundfläche Scheiben der Dicke d ausge- b) Skizzere das Schrägbild eines Quaders, schnitten (vgl. Fig. 3 und Fig. 4). der die gleiche Höhe und das gleiche Je kleiner man d wählt, umso weniger unterscheiden sich Grund- und Deckflächeninhalt Volumen hat wie der Körper und be- der Scheiben. Diese Scheiben können dann näherungsweise als Prismen betrachtet wer- schrifte den Quader mit seinen Maßen. den und haben somit annähernd das gleiche Volumen. Diese Überlegung gilt für jedes derart herausgeschnittene Scheibenpaar. Auf diese Art las- K3 (m—nÄm sen sich beide Körper vollständig in paarweise volumengleiche Scheiben zerlegen (siehe Fig. 5). Also ist auch das Volumen der beiden Körper gleich groß. ” 5 Das Prinzip von Cavalieri ” ===== Seite 10 ===== Wiederholen - Vertiefen - Vernetzen JII Kreise, Prismen und Zylinder 4 Finde den Fehler! Wortliste Wiederholen und Üben O-—> Lösungen, Seite 239 © — Beschreibe, was falsch gemacht wurde. Verwende Fachbegriffe. Die Begriffe auf dem . E O + die Grundfläche 91 ß Bestimme näherungsweise den Umfang und den Flächeninhalt des Kreises. Gib jeweils Rand Können helfä Hersche anschl)eRena diE TCONE® TOSUNE IM HE + die Deckfläche den Radius und den Durchmesser des Kreises an. Rechne mit 11 = 3. OE E b) Gegeben sind das Volumen +die Höhe X D V = 200cm* und der Radius r = 2cm + senkrecht zu der Grundfläche eines schiefen Zylinders. + das Volumen AH \# cm Berechne die Höhe h. + ein Rechteck V=n - (2cm} Grundwissen, Seite 208 ' " nv V v vun vın Lösungen, Seite 239 - N_ N 9 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. ' A : I> € m‘f a)-3(-3x-5)=25+3x b)-(05-0,25%=15x-2 c)-3x+4+x=04x e 2n79pi 92 93 ===== Seite 11 ===== Wiederholen - Vertiefen - Vernetzen Prismen und Zylinder @ Bestimme das Volumen und den Oberflächeninhalt des Prismas bzw. des Zylinders. Für Kugelstoßanlagen sind die Maße Berechne die Ergebnisse in Teilaufgabe c) näherungsweise mit 1 = 3. d=2,135m und « = 40° vorgeschrieben. a) b) &m 9 Bei der Ausführung in der Figur beträgt der Radius r= 24m. B ED 5m e a) Bestimme den Flächeninhalt der Ab- wurfzone und des Wurffelds der Anlage. 5dm muI }s b) Berechne die Zaunlänge der kreisrunden ® —5m zz:;\‚fl nÄ"' - Abwurfzone. 7 am 5 Kalzit oder Doppelspat ist ein häufig vor- kommendes Mineral, welches in Form von Berechne das Volumen eines Prismas mit der Höhe h = 7cm, dessen Grundfläche schiefen Prismen kristallisiert. a) ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 5cm und 12cm ist, a) Berechne das Volumen und den Ober- b) ein Dreieck mit der Grundseite 10cm und der Höhe 6cm ist, flächeninhalt des abgebildeten Doppel- €) ein Trapez mit den Grundseitenlängen 4 cm und 8 cm sowie der Höhe 3cm ist. spats. b) 1cm? wiegt ca. 2,6 g. Berechne die Mas- In Hamburg steht das 21 m breite Bürogebäude Dockland. Die Seitenfläche ist ein Paralle- se des abgebildeten Prismas. logramm mit 134m Länge und 25m Höhe. Berechne das Volumen des Gebäudes. Die Weltraumrakete Ariane 5 hat vier zylinderförmige Treibstoffbehälter. Die beiden seit- - - lichen Treibstoffbehälter in den „Strap-on-Boostern“ sind 31,6 m lang und haben einen Durchmesser von 3,0m. Die Behälter der 1. und 2. Stufe im Mittelteil haben beide einen Durchmesser von 5,4m und sind 30,7 m bzw. 4,5m lang. a) Beurteile, ob die beiden seitlichen Treibstoffbehälter zusammen mehr Treibstoff ent- halten als die Behälter im Mittelteil. Schätze zuerst und rechne dann. b) Die „Strap-on-Booster“ werden zuerst verwendet und, direkt nachdem sie aufgebraucht sind, in einer Höhe von 55 km leer abgetrennt. Bestimme, wie viele Liter Treibstoff die Rakete für diese Strecke durchschnittlich pro Kilometer verbraucht. on In Rottweil wurde 2077 der Turm mit der Anwenden & a) Prisma mit dreiec b) Zylinder Seite 86 Beispiel 2 dem Foto. Beschreibe dein Vorgehen. Seite 95, Aufgabe %6 b) Bestimme nun, wie viele Liter Treibstoff Ba } 5om | 10m | 6dm | %dm Ta | 8cm | 6m |1z7cm | 25m ungefähr in den Tank passen. Pynwes 20n | 3m Bayııdr. _ 3cm 2m <) 22 Vergleicht eure Ergebnisse. Payana _ 3Cm ıam } 70m Nar 82cm* / 80cm* d) A Ferdi behauptet: ‚Wenn ich die Voana 75m \ 66dm* 3501 Maße des Tanks nur halb so groß schät- ze wie Aris, dann erhalte ich auch nur die Hälfte des Volumens” Überprüft, ob Charlotte hat in ihrem Heft die Rechnungen Ferdi recht hat. 1) 900cm* : 30cm » 30cm? rechts zum Thema „Prismen” notiert. a) Finde ein Problem, das zu Charlottes Lösungen, Seite 238 2) 30cm? : 6cm = Scm Rechnung passt. Die Sarone-Schokolade wird in einem besonderen Karton verpackt (Fig. D. b) Beschreibe dein Vorgehen. a) Bestimme, wie viele cm” Schokolade die Schachtel enthält, wenn man 25% des Volu- ‚mens der Verpackung für Luft zwischen Verpackung und Schokolade einplant. Finde den Fehler! b) Berechne, wie viele cm? Karton man für die Verpackung benötigt, wenn zusätzliche Beschreibe, was falsch gemacht wurde. Verwende Fachbegriffe. Die Begriffe auf dem AA 10% für Klebeflächen zu berücksichtigen sind. Rand können heifen, Korrigiere die Lösung anschließend im Heft. e <) Bestimme für das gleiche Verpackungsvolumen die Länge des Kartons, wenn dieser ein a) Va * Sk b HCM Prisma mit dem Querschnitt aus Fig. 2 als Grundfläche besitzt. . :;’‚"„"}"" m = I + die Grundseite 2m * ABl m + das Dreieck n _ 20em + das Prisma mm + die Einheiten 260m| G-h-40:3-0,5:24 = 1440 E IS Wlazen der Sehako-Vorpackung baräge - 3000 Rg 1 F 2 mn Bei einem Haus am Hang wird die Bau- rube so ausgehoben, dass die Bodenplatte Bestimme den Radius eines Zylinders mit einer Höhe von 12cm und einem Volumen von waagerecht ist. 360cm*. a) Berechne, wie viele Kubikmeter Erde durch das Ausbaggern abtransportiert .17 Die folgenden durchbohrten Körper haben alle die Länge 2-a. Das kreisrunde Bohrloch werden müssen. hat jeweils den Durchmesser d = 3, b) Bestimme, wie tief eine Baugrube glei- 3a) Bestimme für jeden Körper das Volumen und den Oberflächeninhalt für a = 4cm, Vertiefen ©& .18 Begründe die folgende Aussage: Wenn bei einem Zylinder oder einem Prisma der Flächen- —> Anwenden © B mit den Maßen Höhe h, =1,7dm und Seite 95 Aufgabe ® inhalt der Grundfläche G, der Oberflächeninhalt O und das Volumen V bekannt sind, kann Seite 95, Aufgabe 7 Radius , = 0,9dm bzw. hg = 1,3dm und ‚man den Umfang der Grundfläche mit der folgenden Formel berechnen: Fg =1/1dm werden untersucht. u=06.2.8 a) Schätzt, weiche Dose das größere Vo- Y72V Iumen bzw. den größeren Oberflächen- IN Probleme lösen mithilfe von Gleichungen inhalt hat. O—> Grundwissen, Seite 208 b) Kontrolliert eure Schätzungen rechnerisch mithilfe der angegebenen Maße.