Mathe-Tutor: Klassenarbeit Nr. 2

Vorbereitung auf die zweite Klassenarbeit - Quadratische Funktionen

1. Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Hilfe: Lineare Gleichungssysteme

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (meist $x$ und $y$). Die Lösung ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.

Beispiel:

Gegeben: I: $y = 2x + 1$ und II: $y = -x + 4$

Schritt 1: Gleichsetzen (beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst)

$2x + 1 = -x + 4$

Schritt 2: Nach $x$ auflösen

$2x + x = 4 - 1$

$3x = 3$

$x = 1$

Schritt 3: $x$ in eine der Gleichungen einsetzen

$y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$

Lösung: $S(1|3)$

Wiederholung

Berechne den Schnittpunkt zweier Geraden. Du kannst das Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren verwenden.

Uebungsaufgabe

2. Von Graphen zur Funktionsgleichung

Hilfe: Von Graphen zur Funktionsgleichung

Vorgehen Schritt für Schritt:

Schritt 1: Scheitelpunkt ablesen

Suche den tiefsten (oder höchsten) Punkt der Parabel. Das ist der Scheitelpunkt $S(d|e)$.

Schritt 2: Scheitelpunktform aufstellen

Die allgemeine Scheitelpunktform ist: $f(x) = a(x-d)^2 + e$

Setze $d$ und $e$ ein. Den Öffnungsfaktor $a$ liest du vom Graphen ab (wie steil/breit ist die Parabel?).

Schritt 3: Binomische Formel anwenden

Für $(x-d)^2$ verwendest du die 2. Binomische Formel:

$(x-d)^2 = x^2 - 2dx + d^2$

Schritt 4: Ausmultiplizieren und zusammenfassen

Multipliziere $a$ mit jedem Term und fasse zusammen.

Beispiel:

Gegeben: Scheitelpunkt $S(2|3)$ und $a = 1$

Schritt 1: Scheitelpunktform: $f(x) = 1(x-2)^2 + 3$

Schritt 2: Binomische Formel: $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

Schritt 3: Einsetzen: $f(x) = 1(x^2 - 4x + 4) + 3$

Schritt 4: Ausmultiplizieren: $f(x) = x^2 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 4x + 7$

Vorgehen

  1. Scheitelpunkt $S(d|e)$ ablesen $\rightarrow$ in Scheitelpunktform einsetzen: $f(x) = a(x-d)^2 + e$
  2. Diese Form durch Ausmultiplizieren (Binomische Formeln) in die Normalform $f(x) = ax^2 + bx + c$ umwandeln
Uebungsaufgabe

3. Bestimmung des Oeffnungsfaktors ($a$)

Hilfe: Öffnungsfaktor bestimmen

Was ist der Öffnungsfaktor $a$?

Der Öffnungsfaktor $a$ bestimmt, wie steil oder breit die Parabel ist und ob sie nach oben ($a > 0$) oder unten ($a < 0$) geöffnet ist.

Vorgehen:

Schritt 1: Scheitelpunktform mit bekanntem Scheitelpunkt aufstellen

Wenn $S(d|e)$ gegeben ist: $f(x) = a(x-d)^2 + e$

Schritt 2: Punkt $P(x|y)$ einsetzen

Setze die $x$-Koordinate für $x$ und die $y$-Koordinate für $f(x)$ ein.

Schritt 3: Nach $a$ auflösen

Isoliere $a$ durch Umstellen der Gleichung.

Beispiel:

Gegeben: $S(1|2)$ und $P(3|6)$

Schritt 1: $f(x) = a(x-1)^2 + 2$

Schritt 2: Punkt einsetzen: $6 = a(3-1)^2 + 2$

$6 = a \cdot 2^2 + 2$

$6 = 4a + 2$

Schritt 3: Nach $a$ auflösen: $6 - 2 = 4a$

$4 = 4a$

$a = 1$

Vorgehen

Gegeben: Scheitelpunkt $S(d|e)$ und ein weiterer Punkt $P(x|y)$

  1. Werte von $S(d|e)$ in $f(x) = a(x-d)^2 + e$ einsetzen
  2. Koordinaten von $P(x|y)$ fuer $x$ und $f(x)$ einsetzen
  3. Gleichung nach $a$ aufloesen
Uebungsaufgabe

4. Nullstellen berechnen

Hilfe: Nullstellen berechnen

Was sind Nullstellen?

Nullstellen sind die $x$-Werte, für die $f(x) = 0$ gilt. Das sind die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse.

Methode: Einfaches Wurzelziehen (reinquadratisch)

Für quadratische Funktionen der Form $f(x) = ax^2 + c = 0$ (kein $x$-Term):

Schritt 1: Gleichung aufstellen

$ax^2 + c = 0$

Schritt 2: Nach $x^2$ auflösen

$ax^2 = -c$

$x^2 = -\\frac{c}{a}$

Schritt 3: Wurzel ziehen

$x = \\pm\\sqrt{-\\frac{c}{a}}$

Beim Wurzelziehen gibt es immer zwei Lösungen: eine positive und eine negative.

Beispiel: $f(x) = 4x^2 - 1 = 0$

1. Gleichung: $4x^2 - 1 = 0$

2. Nach $x^2$ auflösen: $4x^2 = 1$, also $x^2 = \\frac{1}{4}$

3. Wurzel ziehen: $x = \\pm\\sqrt{\\frac{1}{4}} = \\pm\\frac{1}{2}$

Nullstellen: $x_1 = -\\frac{1}{2}$, $x_2 = \\frac{1}{2}$

Hinweis zu Brüchen

Die Lösungen können Brüche sein. Du kannst sie entweder als Dezimalzahl (z.B. 0.5) oder als Bruch (z.B. 1/2) eingeben.

Methode

Wir verwenden einfaches Wurzelziehen für reinquadratische Funktionen:

Für $f(x) = ax^2 + c = 0$ (kein $x$-Term):

  1. Nach $x^2$ auflösen: $x^2 = -\\frac{c}{a}$
  2. Wurzel ziehen: $x = \\pm\\sqrt{-\\frac{c}{a}}$

Die Lösungen können Brüche sein. Gib sie als Dezimalzahl oder Bruch ein (z.B. 0.5 oder 1/2).

Uebungsaufgabe

5. Anwendungsaufgaben (Sachaufgaben)

Hilfe: Anwendungsaufgaben

Wichtige Strategie:

Schritt 1: Koordinatensystem sinnvoll wählen

Lege den Ursprung $(0|0)$ an eine günstige Stelle (z.B. unter den Scheitelpunkt oder an den Startpunkt).

Schritt 2: Funktionsgleichung aufstellen

Nutze bekannte Punkte (z.B. Scheitelpunkt, Startpunkt) um die Gleichung zu bestimmen.

Schritt 3: Gesuchte Größe berechnen

Je nach Frage: Scheitelpunkt für maximale Höhe, Nullstellen für Weite, Punktprobe für Treffer.

Beispiel: Brückenbogen

Ein Bogen ist 20 m breit und 8 m hoch. Der Ursprung liegt in der Mitte unter dem Scheitelpunkt.

Gegeben: $S(0|8)$ (Scheitelpunkt in der Mitte), Breite = 20 m

Die Parabel geht durch $(-10|0)$ und $(10|0)$ (Fußpunkte).

Funktionsgleichung: $f(x) = a(x-0)^2 + 8 = ax^2 + 8$

Einsetzen von $(10|0)$: $0 = a \cdot 100 + 8$

$a = -0.08$

$f(x) = -0.08x^2 + 8$

Maximale Höhe: $f(0) = 8$ m (y-Wert des Scheitelpunkts)

Beispiel: Ballwurf

Ein Ball wird von $(0|0)$ mit einer bestimmten Geschwindigkeit geworfen.

Typische Form: $f(x) = ax^2 + bx$ (Start bei $(0|0)$)

Der Scheitelpunkt gibt die maximale Höhe an.

Die Nullstellen geben die Wurfweite an (außer $x=0$).

Typische Szenarien

  • Bruecken / Torboegen: Ursprung $(0|0)$ oft in die Mitte unter den Scheitelpunkt
  • Wurfparabeln: Ballwurf, Sprungbrett, Wasserstrahl

Wichtige Begriffe: Maximale Hoehe = y-Wert des Scheitelpunkts, Wurfweite = Nullstellen

Uebungsaufgabe